При температуре Т1 в элементе 1 начинается накапливание упруго-пластических деформаций. При его остывании в свободном состоянии изменение длины

δ₁ = α₁ (T₁-T₀)l.

где Т₀ - температура соединения после полного остывания.

Соответственно изменение длины элемента 2 после полного остывания:

δ₂ = α₂ (T₂-T₀)l.

На рис. 6 дана схема образования упруго-пластических деформаций соединения при его остывании. При Т = Т₀ свободные удлинения соответственно равны Δ1 и Δ2. Сумма их: Δ = δ₂ - δ1.

В действительности элементы жестко соединены. Сечения их остаются плоскими, а вследствие этого элемент 1 должен упруго или упруго-пластически удлиниться на величину Δ_l а элемент 2 укоротиться на Δ₂, т. е. элемент 1 растягивается, а элемент 2 сжимается (рис. 7).

Рис. 6. Схема образования упруго-пластических деформаций соединения при его остывании.

Рис. 7. Образование остаточных напряжений в разнородных пластинах при остывании.

Положение поперечного сечения спаянных элементов определяется условием статического равновесия - взаимного уравновешивания внутренних сил.

По длине элементов собственные напряжения распределяются неравномерно. По концам на свободных поверхностях они равны нулю.

Наибольших значений напряжения достигают по середине длины образцов. Если паяные образцы имеют значительную длину, то на некотором участке распределение деформаций по длине происходит равномерно (рис. 8). Если длина элементов незначительна, то распределение деформаций по длине может быть приближенно принято по закону квадратной параболы (рис. 9).

Рис. 8. Распределение упругих деформаций ε по длине длинных паяных пластин.

Рис. 9. Распределение упругих деформаций ε по длине коротких паяных пластин.

При небольшой длине элементов упругие деформации в них определяются соотношением:

где ε - упругая деформация на расстоянии х от конца элемента; l - длина соединяемых деталей; ε_mах - наибольшая упругая деформация посередине; х - текущая координата.

На длине l полная деформация элемента:

Из этого соотношения для элемента 1:

Аналогично для элемента 2:

Условие равновесия внутренних сил запишем в виде:

2ε_max Е_lF₁-ε_2max Е₂F₂ = 0,

откуда:

Сумма удлинений:

Δ1+Δ2 = Δ

С учетом уравнений (26) и (27):

Тогда:

Наибольшие нормальные собственные напряжения σ_lmax и σ_2max, возникающие при остывании элементов 1 и 2,

Если толщины соединяемых элементов одинаковы, то F₁ = F₂, тогда:

Наибольшее значение σ_1max имеет, если второе слагаемое в знаменателе приближается к нулю, т. е. когда Е₂ велико по сравнению с Е₁.

Если Е₁ = Е₂ = Е и деформации элементов 1 и 2 различны лишь из-за различных теплофизических свойств деталей температурных коэффициентов линейного расширения, то:

Аналогично:

В этом случае напряжение σ_1max растет с увеличением модуля упругости Е₁. Значения напряжений σ_1max и σ_2max пропорциональны величине Δ. При значительной величине Δ остаточные напряжения могут достигать предела текучести.

Рис. 10. Образование напряжений среза в паяном шве.

В месте контакта соединяемых элементов возникают касательные напряжения (рис. 10), определяемые из условия:

где b - ширина соединяемых элементов; S - их толщина; t - касательные напряжения в плоскости спая, т. е.

Касательное напряжение т растет с увеличением отношения толщины элемента к его длине. Обычно S/l во много раз меньше единицы, поэтому срезывающие напряжения в плоскости спая значительно меньше нормальных остаточных напряжений в элементах.

В рассматриваемом случае деформации паяных элементов симметричны.